I matematikk dukker det stadig opp situasjoner der to størrelser henger sammen på en fast måte. Noen ganger vokser de i takt, andre ganger veier den ene opp for den andre. Å forstå proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet gjør deg i stand til å løse praktiske problemer fra handel, fart, arbeid og mye mer.
To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem alltid er det samme. De er omvendt proporsjonale når produktet alltid er det samme. Dobler du den ene, dobler den andre seg ved proporsjonalitet, men halverer seg ved omvendt proporsjonalitet.
To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem er konstant. Det betyr at hvis du dobler den ene, dobler den andre seg også. Tenk på pris og antall varer: kjøper du dobbelt så mange epler, betaler du dobbelt så mye. Forholdet pris delt på antall er alltid det samme, og vi kaller dette en proporsjonal sammenheng.
To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem er konstant. Det betyr at hvis den ene dobles, halveres den andre. Et godt eksempel er fart og tid på en fast strekning: kjører du dobbelt så fort, bruker du halvparten av tiden. Fart ganger tid er alltid det samme, nemlig distansen.
Å kjenne igjen disse sammenhengene er nyttig langt utover klasserommet. Du bruker dem når du beregner kostnader, planlegger turer eller vurderer arbeidsfordeling.
For proporsjonalitet: sett opp en tabell med verdiene. Del den ene størrelsen på den andre for hvert par. Hvis svaret alltid er det samme, er størrelsene proporsjonale. Du kan skrive sammenhengen som y = k ganger x, der k er den konstante faktoren, også kalt proporsjonalitetskonstanten.
For omvendt proporsjonalitet: gang de to størrelsene med hverandre for hvert par. Hvis produktet alltid er det samme, er størrelsene omvendt proporsjonale. Du kan skrive sammenhengen som y = k delt på x, der k er det konstante produktet.
Når du skal finne en ukjent verdi, setter du opp en likning. Vet du for eksempel at 4 arbeidere bruker 6 dager på et oppdrag, og vil vite hvor lang tid 8 arbeidere bruker, ganger du først: 4 ganger 6 er 24. Deretter deler du: 24 delt på 8 er 3 dager. Det er svaret.
En svært vanlig feil er å blande de to typene. Husk: proporsjonalitet betyr at forholdet er fast, omvendt proporsjonalitet betyr at produktet er fast. Tenk alltid gjennom hva som faktisk skjer i situasjonen: vokser begge størrelsene i takt, eller veier den ene opp for den andre?
En annen feil er å anta at alle sammenhenger er proporsjonale. Ikke alle to størrelser som øker samtidig er proporsjonale. Sjekk alltid om forholdet faktisk er konstant ved å regne ut for flere verdier.
Mange glemmer også enheter. Sørg for at du holder styr på hva x og y faktisk representerer, og at enhetene stemmer overens gjennom hele utregningen.
Start med hverdagseksempler du kjenner fra før. Priser i butikken, oppskrifter du skalerer opp eller ned, eller fart og reisetid er alle gode utgangspunkt. Spør deg selv: hva skjer med den ene størrelsen når den andre dobles?
Øv på å lage og fylle ut tabeller. Når du ser tallene side om side, er det lettere å oppdage om forholdet eller produktet er konstant. Tegn gjerne en graf i tillegg. En proporsjonal sammenheng gir en rett linje gjennom origo, mens en omvendt proporsjonal sammenheng gir en buet kurve.
Jobb med oppgaver der du selv må avgjøre hvilken type sammenheng det dreier seg om, ikke bare oppgaver der det allerede er oppgitt. Den vurderingen er en sentral del av kompetansen du skal utvikle i 1P.
En bil bruker 5 timer på en strekning når den kjører 80 km/t. Hvor lang tid bruker bilen hvis den kjører 100 km/t?
Fasit: 4 timer
Steg 1: Sjekk om dette er omvendt proporsjonalitet. Høyere fart gir kortere tid, og distansen er fast, så ja. Steg 2: Finn det konstante produktet: 80 ganger 5 er 400. Det er distansen i kilometer. Steg 3: Sett opp likningen: 100 ganger t er 400. Steg 4: Løs for t: t er 400 delt på 100, som er 4. Svaret er 4 timer.
Prøv Lekselos gratis i 14 dager for å lese hele forklaringen, se eksemplet steg for steg og øve på matematikk tilpasset deg.
Lekselos loser barnet gjennom oppgaven ett steg om gangen, så det lærer i stedet for å kopiere. Du får ukeplan, prøver og gloser samlet, og ser hva som er gjort. Forankret i LK20, laget i Norge. 14 dager gratis, uten kort.
Ved proporsjonalitet er forholdet mellom de to størrelsene alltid det samme, og begge vokser eller minker i takt. Ved omvendt proporsjonalitet er produktet alltid det samme, og når den ene øker, minker den andre tilsvarende.
Lag en tabell med verdiene og del den ene størrelsen på den andre for hvert par. Hvis du alltid får det samme svaret, er størrelsene proporsjonale. Du kan også sjekke om grafen er en rett linje gjennom origo.
Proporsjonalitetskonstanten, ofte kalt k, er det faste forholdet mellom to proporsjonale størrelser. Den forteller deg hvor mye den ene størrelsen er verdt per enhet av den andre, for eksempel kroner per vare.
Ja. Hvis du vet at forholdet er fast, kan du sette opp en proporsjonslikning og løse den ved kryssmultiplikasjon. Det er en effektiv metode for å finne ukjente verdier i proporsjonale sammenhenger.
Et klassisk eksempel er antall arbeidere og tid brukt på et oppdrag. Dobler du antall arbeidere, halveres tiden. Et annet eksempel er fart og reisetid på en fast strekning.
Forankring i læreplanen: Kompetansemål (LK20): Fag: Læreplan i matematikk fellesfag vg1 praktisk (matematikk P) Trinn: 1P Kompetansemål: Eleven skal kunne utforske, beskrive og bruke begrepene proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet. Nynorsk: Eleven skal kunne utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet. Kjerneelement: Utforsking og problemløysing, Representasjon og kommunikasjon (Kilde: Utdanningsdirektoratet)
Lekselos loser deg gjennom oppgaver med hint, ikke fasit, og lager øving tilpasset deg. Prøv gratis.
