Trigonometri handler om sammenhengene mellom sider og vinkler i trekanter. I 1T går vi videre fra den rette trekanten og lærer å løse problemer der trekantene er vilkårlige, og der figurer ofte består av flere trekanter satt sammen. Dette er nyttig i alt fra arkitektur og navigasjon til landmåling og tekniske beregninger.
I sammensatte trigonometrioppgaver bruker du sinussetningen, cosinussetningen og arealformelen for trekanter til å finne ukjente lengder, vinkler og arealer. Du deler gjerne figuren i enklere deler og løser trinn for trinn.
Kompetansemålet krever at du kan bruke trigonometri på problemer som ikke er enkle rettfremme oppgaver. Det betyr at du må velge riktig verktøy, sette opp beregningene selv og tolke svarene i en reell sammenheng.
Sammensatte problemer kan for eksempel handle om å finne høyden på et fjell målt fra to ulike steder, beregne arealet av en tomt med skrå kanter, eller finne lengden på en bro som krysser over ulendt terreng. Felles for dem alle er at du må kombinere flere formler og se helheten i figuren.
Verktøyene du trenger er sinussetningen, cosinussetningen og arealformelen. Sinussetningen bruker du når du kjenner en side og motstående vinkel. Cosinussetningen bruker du når du kjenner alle tre sider eller to sider og mellomliggende vinkel. Arealformelen gir deg arealet av en vilkårlig trekant når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem.
Steg 1: Les oppgaven nøye og lag en skisse. Marker alle kjente lengder og vinkler i figuren. Del opp sammensatte figurer i enkle trekanter.
Steg 2: Velg riktig formel for hver trekant. Spør deg selv: kjenner jeg en side og motstående vinkel? Da bruker du sinussetningen. Kjenner jeg to sider og vinkelen mellom dem, eller alle tre sider? Da bruker du cosinussetningen.
Steg 3: Løs for den ukjente størrelsen. Pass på å runde av svaret fornuftig, og bruk gjerne mellomresultater til å finne neste ukjente i figuren.
Steg 4: Svar med riktig enhet og vurder om svaret er rimelig. Et areal på 3000 kvadratmeter er rimelig for en stor tomt, men ikke for en leilighet. Denne vurderingen er en del av kompetansemålet.
En svært vanlig feil er å bruke Pytagoras eller enkle trigonometriske forhold fra den rette trekanten på trekanter som ikke er rettvinklede. Sjekk alltid om trekanten har en rett vinkel før du bruker disse.
Mange glemmer å tegne en skisse, og mister da oversikten over hvilke størrelser som hører til hvilken trekant i figuren. En god skisse med tydelige merker sparer deg for mange feil.
Det er også vanlig å runde av for tidlig. Bruk fulle desimaler i mellomregningen og rund bare av i det endelige svaret. Tidlig avrunding kan gi feil som forplanter seg gjennom hele løsningen.
Når du bruker cosinussetningen til å finne en vinkel, husk at kalkulatoren gir deg arccos-verdien. Sjekk om vinkelen gir mening i figuren, særlig om den er stump.
Begynn med å bli trygg på de tre formlene hver for seg, slik at du vet nøyaktig hva du trenger å kjenne for å bruke dem. Lag gjerne en liten oversikt du kan slå opp i mens du øver.
Gå deretter videre til oppgaver med sammensatte figurer. Start med å tegne figuren selv, del den opp og løs en trekant av gangen. Bygg kompleksitet gradvis.
Prøv å lage egne problemer fra virkeligheten rundt deg. Mål høyden på et tre ved hjelp av vinkler, eller finn arealet av en trekantformet parsell på et kart. Slike øvelser gjør at du husker metodene bedre.
Bruk løsningsforslag aktivt, men les gjennom ditt eget forsøk først. Finn ut nøyaktig hvor du eventuelt gikk feil, ikke bare hva det riktige svaret er.
En tomt er formet som en trekant ABC. Du vet at AB = 40 m, AC = 55 m og vinkel A = 67 grader. Finn arealet av tomten og lengden på siden BC.
Fasit: Areal = ca. 1012 m², BC = ca. 53,3 m
Steg 1: Bruk arealformelen for vilkårlig trekant. Areal = 0,5 ganger AB ganger AC ganger sin(A) = 0,5 ganger 40 ganger 55 ganger sin(67°) = 0,5 ganger 2200 ganger 0,9205 = ca. 1012 m². Steg 2: Bruk cosinussetningen for å finne BC. BC² = AB² + AC² minus 2 ganger AB ganger AC ganger cos(A) = 1600 + 3025 minus 2 ganger 40 ganger 55 ganger cos(67°) = 4625 minus 4400 ganger 0,3907 = 4625 minus 1719 = 2906. BC = rot(2906) = ca. 53,9 m. Steg 3: Svar med enheter og vurder om svarene er rimelige for en tomt.
Prøv Lekselos gratis i 14 dager for å lese hele forklaringen, se eksemplet steg for steg og øve på matematikk tilpasset deg.
Lekselos loser barnet gjennom oppgaven ett steg om gangen, så det lærer i stedet for å kopiere. Du får ukeplan, prøver og gloser samlet, og ser hva som er gjort. Forankret i LK20, laget i Norge. 14 dager gratis, uten kort.
Du bruker sinussetningen når du kjenner en side og vinkelen som er motstående denne siden. Du bruker cosinussetningen når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem, eller når du kjenner alle tre sider og vil finne en vinkel.
Arealet er lik 0,5 ganger a ganger b ganger sinus til vinkelen mellom sidene a og b. Du trenger altså to sider og vinkelen som sitter mellom dem.
Del figuren opp i enkle trekanter og løs en av gangen. Bruk svaret fra en trekant som kjent størrelse i neste trekant. En god skisse er avgjørende for å holde oversikten.
Nei, Pytagoras gjelder kun i rettvinklede trekanter. Dersom trekanten ikke har en rett vinkel på 90 grader, må du bruke sinussetningen eller cosinussetningen.
Sammenlign svaret med de kjente størrelsene i oppgaven. En side kan ikke være lengre enn summen av de to andre sidene i trekanten, og et areal bør stemme overens med de oppgitte lengdene. Les også konteksten i oppgaven, for eksempel om det handler om meter eller centimeter.
Forankring i læreplanen: Kompetansemål (LK20): Fag: Læreplan i matematikk fellesfag vg1 teoretisk (matematikk T) Trinn: 1T Kompetansemål: Eleven skal kunne bruke trigonometri til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer med lengder, vinkler og arealer. Nynorsk: Eleven skal kunne bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal. Kjerneelement: Modellering og anvendingar (Kilde: Utdanningsdirektoratet)
Lekselos loser deg gjennom oppgaver med hint, ikke fasit, og lager øving tilpasset deg. Prøv gratis.
